Grandeza é uma relação numérica estabelecida com algo. Por exemplo, a altura de uma pessoa, o peso de um objeto, o volume de um tanque e a quantidade de peças são grandezas.
Razão é a divisão ou relação entre duas grandezas. Chama-se de razão entre dois números reais a e b ou a razão de a para b, com b diferente de zero, o quociente a/b ou a:b.
Na razão a/b ou a:b o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente.
As razões podem ser entre grandezas da mesma unidade de medida, por exemplo a razão entre o número de meninos e o número de meninas, ou entre grandezas de unidades de medidas diferentes, por exemplo a razão entre a distância percorrida e o combustível consumido.
Uma razão bastante comum é a velocidade, dada pela divisão da distância percorrida pelo tempo gasto, por exemplo 80km/2h é igual a 40km/h. Outra razão bastante comum é a escala, que é a razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade, por exemplo 1:1000.
A razão inversa é o inverso da divisão, assim Ri = 1/R = 1/(a/b) = b/a. Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1, a/b x b/a = 1.
Proporção é a igualdade entre razões, ou seja, entre razões equivalentes. Por exemplo, se um carro faz 12km por litro de combustível, então para rodar 24km é preciso 2 litros de combustível, 12/1 = 24/2.
A proporção possui algumas propriedades, uma é se multiplicarmos em cruz os resultados serão iguais. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos:
Quando somamos ou subtraímos termo a termo a razão se mantém. A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, e a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente:
A soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º):
A diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º):
O produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente:
Uma proporção múltipla é uma série de razões iguais, assim a/b = c/d = e/f.
Duas grandezas a e b são diretamente proporcionais quando a razão a/b entre os valores de a e do correspondente valor b é sempre constante, a/b = k. Quando o aumento de uma implica no aumento da outra, quando a redução de uma implica na redução da outra:
E duas grandezas a e b são inversamente proporcionais quando o produto a.b entre os valores de a e o correspondente valor b é sempre constante, a.b = k. Quando o aumento de uma implica na redução da outra, quando a redução de uma implica no aumento da outra:
Para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas direta ou inversamente proporcionais utiliza-se um sistema de cálculo denominado regra de três. O problema que envolve somente duas grandezas é chamado de regra de três simples e o problema que envolve três ou mais grandezas é chamado de regra de três composta.
Na solução de problemas deste tipo devemos igualar a razão da grandeza que queremos descobrir com as razões restantes, aplicando nestas outras a propriedade do produto dos antecedentes para o produto dos consequentes, nos casos de regra de três composta.
Mas antes é necessário estabelecer a direção de proporcionalidade entre cada grandeza e a grandeza a ser determinada. Por exemplo:
Problema: Seis operários trabalhando oito horas por dia concluem o trabalho em cinco dias. Dois operários trabalhando seis horas por dia irão concluir o trabalho em quantos dias?
Comparando a coluna Operários com Dias, com a diminuição do número de operários, a quantidade de dias deve aumentar, então trata-se de uma relação inversamente proporcional. Nesse caso, deve-se inverter a coluna dos operários.
Comparando a coluna Horas/Dia com Dias, com a diminuição das horas diárias, a quantidade de dias deve aumentar, então trata-se também de uma relação inversamente proporcional. Da mesma forma, deve-se inverter a coluna das horas/dia.
O cálculo da equação fica assim:
Resposta: O trabalho será concluído em 20 dias.
Razão é a divisão ou relação entre duas grandezas. Chama-se de razão entre dois números reais a e b ou a razão de a para b, com b diferente de zero, o quociente a/b ou a:b.
Na razão a/b ou a:b o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente.
As razões podem ser entre grandezas da mesma unidade de medida, por exemplo a razão entre o número de meninos e o número de meninas, ou entre grandezas de unidades de medidas diferentes, por exemplo a razão entre a distância percorrida e o combustível consumido.
Uma razão bastante comum é a velocidade, dada pela divisão da distância percorrida pelo tempo gasto, por exemplo 80km/2h é igual a 40km/h. Outra razão bastante comum é a escala, que é a razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade, por exemplo 1:1000.
A razão inversa é o inverso da divisão, assim Ri = 1/R = 1/(a/b) = b/a. Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1, a/b x b/a = 1.
Proporção é a igualdade entre razões, ou seja, entre razões equivalentes. Por exemplo, se um carro faz 12km por litro de combustível, então para rodar 24km é preciso 2 litros de combustível, 12/1 = 24/2.
A proporção possui algumas propriedades, uma é se multiplicarmos em cruz os resultados serão iguais. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos:
a/b = c/d => a.d = b.c
Quando somamos ou subtraímos termo a termo a razão se mantém. A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, e a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente:
a/b = c/d = (a+c)/(b+d) = (a-c)/(b-d)
A soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º):
a/b = c/d => (a+b)/a = (c+d)/c => (a+b)/b = (c+d)/d
A diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º):
a/b = c/d => (a-b)/a = (c-d)/c => (a-b)/b = (c-d)/d
O produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente:
a/b = c/d => (a.c)/(b.d) = a²/b² = c²/d²
Uma proporção múltipla é uma série de razões iguais, assim a/b = c/d = e/f.
Duas grandezas a e b são diretamente proporcionais quando a razão a/b entre os valores de a e do correspondente valor b é sempre constante, a/b = k. Quando o aumento de uma implica no aumento da outra, quando a redução de uma implica na redução da outra:
a b a/b
4 2 2
6 3 2
8 4 2
4/2 = 6/3 = 8/4 = 2
4/6 = 2/3 => 4.3 = 6.2 = 12
E duas grandezas a e b são inversamente proporcionais quando o produto a.b entre os valores de a e o correspondente valor b é sempre constante, a.b = k. Quando o aumento de uma implica na redução da outra, quando a redução de uma implica no aumento da outra:
a b a.b
6 1 6
3 2 6
1 6 6
6.1 = 3.2 = 1.6 = 6
6/3 = 1/(1/2) => 6/3 = 2/1 => 6.1 = 3.2 = 6
Para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas direta ou inversamente proporcionais utiliza-se um sistema de cálculo denominado regra de três. O problema que envolve somente duas grandezas é chamado de regra de três simples e o problema que envolve três ou mais grandezas é chamado de regra de três composta.
Na solução de problemas deste tipo devemos igualar a razão da grandeza que queremos descobrir com as razões restantes, aplicando nestas outras a propriedade do produto dos antecedentes para o produto dos consequentes, nos casos de regra de três composta.
Mas antes é necessário estabelecer a direção de proporcionalidade entre cada grandeza e a grandeza a ser determinada. Por exemplo:
Problema: Seis operários trabalhando oito horas por dia concluem o trabalho em cinco dias. Dois operários trabalhando seis horas por dia irão concluir o trabalho em quantos dias?
Operários Horas/Dia Dias
6 8 5
2 6 x
Comparando a coluna Operários com Dias, com a diminuição do número de operários, a quantidade de dias deve aumentar, então trata-se de uma relação inversamente proporcional. Nesse caso, deve-se inverter a coluna dos operários.
Comparando a coluna Horas/Dia com Dias, com a diminuição das horas diárias, a quantidade de dias deve aumentar, então trata-se também de uma relação inversamente proporcional. Da mesma forma, deve-se inverter a coluna das horas/dia.
O cálculo da equação fica assim:
5/x = (2*6)/(6*8)
5/x = 12/48
x/5 = 48/12
x = 4*5
x = 20
Resposta: O trabalho será concluído em 20 dias.
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